有位农夫在地里种下了两粒种子，很快它们变成了两棵同样大小的树苗。
第一棵树决心长成一棵参天大树，所以它拼命地从地下吸收养料，储备起来，滋润每一枝树干，向上生长，完善自身。由于这个原因，在最初的几年，它并没有结果实，这让农夫很恼火。
相反另一棵树，也拼命地从地下吸取养料，打算早点开花结果，它做到这一点。这使农夫很欣赏它，并经常浇灌它。
时光飞转，那棵久不开花的大树由于身强体壮，养分充足，终于结出了又大又甜的果实。而那棵过早开花的树，却由于还未成熟时，便承担起了开花结果的任务，所以结出的果实苦涩难吃，并不讨人喜欢，还因此而累弯了腰。
老农看到这种情况，诧异地叹了口气，终于用斧头将它砍倒，用火烧了。
急于求成的结果只会导致最终的失败，所以我们不妨放远眼光，注重自身知识的积累，厚积薄发，自然会水到渠成。
圆的最值问题在课本没有系统讲到，仅是我们做习题时涉及到，这就要求我们平时注重积累，善于总结，才开有效地破解这一几何难题。
模型1 点圆最值
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，⊙O半径为r)：
1.当D点在⊙O外时，dr，如图①、②：当D、 E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；
2.当D点在⊙O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)；
3.若D点在⊙O内时，dr，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.
典型问题
例1-1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
变式1.如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．
变式2.如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是 ．
变式4．（春蔡甸区校级月考）如图，AB为⊙O直径，且AB＝
，点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE，则CE的最大值为（ ）
例1-2．（成华区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝
，若点D为平面上一个动点，且满足∠ADC＝60°，则线段BD长度的最小值为 ，最大值为 ．
根据∠ADC＝60°，AC＝
，作Rt△ADC的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小或最大．将问题转化为点圆最值．可证得△COD为等边三角形，OC＝OD＝CD＝2，CE＝DE＝1，由勾股定理可求得OB的长，最后求得BD的最值．
：如图1，作Rt△ADC的外接圆O，（因为是求线段BD长度的最小值，故圆心O在AC的右侧），连接OB，当O、D、B三点共线时，BD的值最小．
∵∠ACD＝90°，∴AD是⊙O的直径，
连接OC，∵∠ADC＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，
模型2 线圆最值
1.如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点.
(1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大.
(2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大.
2.如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d-r (如图③)，点P到直线l的最大距离是 d+r (如图④).
变式1．（费县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．8B．10C．12D．14
变式2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对
变式3．（睢宁县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
变式4．已知：AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝5，AB＝4，BC＝8，则△PCD的面积的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．9
如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，可求得CD＝5，过P作⊙O的切线，交AD、BC于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，可知此时点P到CD的距离最小，根据切线长定理可求得CN＝4，又可证明△DEC∽△NFC，可求得NF，进一步可求得△PDC的面积．
：如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵AD＝5，BC＝8，∴CE＝3，
又DE＝AB＝4，∴CD＝5，
当点P到CD的距离最小时，△PCD面积有最小值，过P作⊙O的切线，交AD、BC于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，
可知此时P到CD的距离最小，
∵AD、BC为⊙O的切线，∴AD∥BC，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN＝MD，MN＝CD＝5，
设DM＝CN＝x，则AM＝5﹣x，
∵MN为⊙O的切线，∴MP＝AM＝5﹣x，
∴PN＝BN＝x，∴BC＝2x，∴x＝4，即CN＝4，
在△DEC和△NFC中
∵∠DEC＝∠NFC，∠C＝∠C，∴△DEC∽△NFC，
